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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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2. Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
c) $f(x)=\frac{5 x}{x^{2}-4}$

Respuesta

Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué. 

Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$


Primero calculamos el dominio de la función:

$f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$
¡Tenemos una división con $x$ en el denominador! Para encontrar el dominio vamos a tener que asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$x^2-4\neq0$
$x^2\neq4$


$\sqrt{x^2}\neq\sqrt{4}$

  $|x|\neq\sqrt{4}$
$|x|\neq2$
Resolviendo el módulo nos queda $x \neq -2$ y  $x \neq 2$, es decir:
$\text{Dom } f= \mathbb{R} - \{-2; 2\}$ o, lo que es lo mismo: $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$



💡 Mi recomendación es que de este ejercicio te lleves el cálculo del dominio. No te vuelvas loco/a con lo de la imagen.



Lo que podemos hacer para saber si -3 si pertenece a la imagen de la función, es buscar si hay algún valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezca al dominio de la función:


Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:


$\frac{5x}{x^2-4} = -3$


$5x = -3(x^2-4)$

$5x = -3x^2+12$


$0 = -3x^2 - 5x +12$


Usamos la fórmula resolvente de cuadráticas, sabiendo que $a=-3$, $b=-5$ y $c=12$, y nos queda:


$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-6}$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm 13}{-6}$

Entonces, las soluciones son:
$x_1 = \frac{5 + 13}{-6} = -3$
$x_2 = \frac{5 - 13}{-6} = \frac{4}{3}$



Estos dos valores de $x$ están dentro del dominio de la función: $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$. Así que $-3$ sí que pertenece a la imagen.


Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función. $-3 \in \operatorname{Im} f$
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Avatar Delfi 16 de abril 22:50
Hola profe, para resolver la cuadratica da igual cual sea a, b y c? Por que al hacer el pasaje me quedaron distintos.
Avatar Julieta Profesor 17 de abril 12:05
@Delfi Hola Delfi! Buena pregunta! Esos valores son los coeficientes siguientes: $a x^2 + bx + c$. 

O sea, $a$ es el número que acompaña a la $x^2$, así que nunca puede valer cero. 
$b$ es el que acompaña a la $x$
$c$ es el término independiente. No hay $x$ ahí. Es un número solito. 

A esta altura no tienen por qué saber cómo hacer la fórmula resolvente. Eso lo vemos en la práctica de funciones, particularmente funciones cuadráticas donde les enseño a hacer esa fórmula 😁
Avatar Milenka 24 de mayo 19:45
profe una pregunta como uno se da cuenta que esos valores estan dentro del dominio  de la funcion?
Avatar Julieta Profesor 30 de mayo 13:52
@Milenka Hola Mile, una forma es calcular el domini, para ver justamente donde la función existe y comparar con ese otro valor. Otra manera es armarte la tabla de valores. Igual te recomiendo ver el video de dominio de funciones antes de hacer estos ejercicios.
Avatar Magdalena 13 de abril 18:46
@Julieta hola una consulta, la tabla de valores seria igual al ejercicio 1, pero con 4/3 y con -3?

Avatar Jazmín 20 de mayo 11:01
ahh jaja que ciega :P graciasss<3 
Avatar Jazmín 14 de mayo 10:25
buen dia profe! te queria preguntar que paso con el signo - del numero 3 en la formula resolvente... no deberia quedar 2.(-3)= -6 en el denominador? espero que se entienda mi duda. Gracias!
Avatar Julieta Profesor 16 de mayo 06:55
@Jazmín ¡Hola Jaz! Estpa ahí, se transformó en un -6 que está en el denominador de la resolvente.
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