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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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2. Hallar en los siguientes casos el dominio de ff y decidir si −3∈Im⁡f-3 \in \operatorname{Im} f.
c) f(x)=5xx2−4f(x)=\frac{5 x}{x^{2}-4}

Respuesta

Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué. 

Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de ff y decidir si −3∈Im⁡f-3 \in \operatorname{Im} f


Primero calculamos el dominio de la función:

f(x)=5xx2−4f(x)=\frac{5x}{x^2-4}
¡Tenemos una división con xx en el denominador! Para encontrar el dominio vamos a tener que asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
x2−4≠0x^2-4\neq0
x2≠4x^2\neq4


x2≠4\sqrt{x^2}\neq\sqrt{4}

  ∣x∣≠4|x|\neq\sqrt{4}
∣x∣≠2|x|\neq2
Resolviendo el módulo nos queda x≠−2x \neq -2 y  x≠ 2x \neq 2, es decir:
Dom f= R−{−2;2}\text{Dom } f= \mathbb{R} - \{-2; 2\} o, lo que es lo mismo: (−∞,−2)∪(−2,2)∪(2,+∞)(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)


Para saber si -3 pertenece a  la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla. 


💡 Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para y=−3y=-3.


Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería reemplazar el -3 como valor de la función y ver si corresponde a una xx perteneciente al dominio de la función:


Es decir, planteamos que f(x)=−3f(x)= -3 y despejamos xx:


5xx2−4=−3\frac{5x}{x^2-4} = -3


5x=−3(x2−4)5x = -3(x^2-4)

5x=−3x2+125x = -3x^2+12


0=−3x2−5x+120 = -3x^2 - 5x +12


Usamos la fórmula resolvente de cuadráticas, sabiendo que a=−3a=-3, b=−5b=-5 y c=12c=12, y nos queda:

x1,2 =−(−5)±(−5)2−4(−3)(12)2(−3)x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(-3)(12)}}{2(-3)}
x1,2 =5±25+144−6x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6}
x1,2 =5±169−6x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-6}
x1,2 =5±13−6x_{1,2} = \frac{5 \pm 13}{-6}
Entonces, las soluciones son: x1=5+13−6=−3x_1 = \frac{5 + 13}{-6} = -3 x2=5−13−6=43x_2 = \frac{5 - 13}{-6} = \frac{4}{3}


Estos dos valores de xx están dentro del dominio de la función.


Conclusión: −3-3 pertenece a la imagen de la función. −3∈ Im⁡f-3 \in \operatorname{Im} f
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Milenka
24 de mayo 19:45
profe una pregunta como uno se da cuenta que esos valores estan dentro del dominio  de la funcion?
0 Responder
Julieta
PROFE
30 de mayo 13:52
@Milenka Hola Mile, una forma es calcular el domini, para ver justamente donde la función existe y comparar con ese otro valor. Otra manera es armarte la tabla de valores. Igual te recomiendo ver el video de dominio de funciones antes de hacer estos ejercicios.
0 Responder
Jazmín
20 de mayo 11:01
ahh jaja que ciega :P graciasss<3 
0 Responder
Jazmín
14 de mayo 10:25
buen dia profe! te queria preguntar que paso con el signo - del numero 3 en la formula resolvente... no deberia quedar 2.(-3)= -6 en el denominador? espero que se entienda mi duda. Gracias!
0 Responder
Julieta
PROFE
16 de mayo 6:55
@Jazmín ¡Hola Jaz! Estpa ahí, se transformó en un -6 que está en el denominador de la resolvente.
0 Responder